Jumat, 09 Desember 2011

Pola Bilangan, Barisan dan Deret



Dalam kehidupan sehari-hari, sebagian besar masalah matematika yang kita temui biasanya berupa bilangan-bilangan. Bilangan tersebut ada yang diterapkan langsung dalam perhitungan, tetapi ada pula bilangan membentuk suatu aturan atau pola tertentu.
Pernahkan anda memperhatikan seorang pedagang buah jeruk dalam menyusun dagangannya ? atau susunan kaleng susu atau minuman kaleng yang ada di supermarket ? Sengaja maupun tidak sebenarnya mereka telah menerapkan keunikan dari suatu barisan atau pola bilangan.
Tanpa kita sadari, masalah-masalah dalam kegiatan sehari-hari terutama dalam kegiatan ekonomi masalah penerapan pola barisan atau deret.

Menentukan / Membuat Pola
Untuk memecahkan suatu masalah, harus lebih dahulu benar-benar memahami masalahnya. Kemudian menuliskan apa yang diketahui dan apa yang harus dicari dari masalah tersebut. Selanjutnya membuat pola jawaban dari masalah tersebut sudah memenuhi syarat-syarat yang ditentukan atau belum. Jika satu pola dapat diketahui dari sekumpulan data atau dengan melakukan manipulasi data, maka kita dapat menggunakan pola tersebut untuk menyelesaikan masalah yang harus dipecahkan. Perhatikan contoh berikut:
1.    Diberikan beberapa persegi yang disusun mulai 1 persegi, 4 persegi, 9 persegi dan 16 persegi. Persegi tersebut diberikan dua warna.putih dan hitam seperti tampak pada gambar berikut:
Berapa banyak persegi warna putih dan persegi warna hitam jika diberikan n persegi? Penyelesaian masalah ini dilakukan dengan membuat pola dari data yang ada. Selanjutnya dipilah persegi warna putih dan persegi warna hitam. Seperti dalam daftar pola berikut:
No
Banyak Persegi
Persegi Putih
Persegi HItam
1
1
1
0
2
4
1
3
3
9
4
5
4
16
9
7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
n2
(n-1)2
2n – 1



Latihan :
1.      Tentukan pola yang ke 15 dari pola – pola berikut ini :


a.      
b.     

2.      Dari sebuah segienam yang memiliki 138 bundaran/titik. Berapa banyak bundaran/titik yang terletak
       pada setiap sisi?
3.      Jika x = Tentukanlah nilai x2 ?

Barisan Bilangan
Sekumpulan bilangan yang telah terurut dan memiliki pola tertentu (suatu aturan tertentu)
Contoh :

a.       2, 3, 5, 7, 9, ...........
b.      4, 10, 18, 28, ......
c.       0, 1, 1, 2, 3, 5, .........
d.      2, 4, 8, 16, .......


Barisan Bilangan Aritmatika : Barisan bilangan yang memiliki selisih / beda yang tetap.
Contoh :
a.       2, 3, 5, 7, 9, 11, ...................
b.      20, 16, 12, 8, 4, ......................

1.      Barisan Aritmatika Tingkat Satu :
Barisan Aritmatika yang dapat dimiliki selisih yang tetap pada level pertama .
Contoh :

3,       8,       13,      18, 23, ...........

2.      Barisan Aritmatika Tingkat Dua
Barisan Aritmatika yang dapat dimiliki selisih yang tetap pada level pertama .
Contoh :


Menentukan Suku ke – n pada Barisan Aritmatika tingkat 1


Keterangan :
Un = a + (n – 1). b        Un         = suku Ke-n
a           = Suku pertama
b           = selisih atau beda, dimana 
             b = U2 – U1 atau U3 – U2 atau ( Un + 1 – Un )

Rumus Suku tengah : Ut = ½ ( a + Un)

Contoh :
Tentukan suku ke – 30 dari barisan bilangan 70, 78, 86, 94, ......!
Jawab :
a = 70                                      U30 = 70 + ( 30 – 1 ). 8
b = 78 – 70 = 8                               = 70 + 29 . 8
n = 30                                             = 70 + 232 = 302
Latihan :  Kerjakan Buku “ Smart Book” hal 71 - 72

Menentukan Suku ke – n pada Barisan Aritmatika tingkat 2

Un = a.n2 + b.n + c      


Contoh :
Tentukan suku ke 20 dari barisan bilangan berikut , 3, 9, 18, 30, 45 ...........
Jawab :

3          9          18        30        45, .


      6         9          12          15

     
            3          3           3  

2a    = 3                               3a + b = 6                                a + b + c = 3   
   a   = 3/2                            3. 3/2 + b = 6                           3/2 + 3/2 + c = 3
                                                        b = 3/2                                           c = 0

Un = 3/2 n2 + 3/2 n

U20 = 3/2 (20)2 + 3/2 .(20)
       = 3/2 . 400 + 30
       = 630



Barisan Geometri / Barisan Ukur
Sekumpulan / barisan bilangan /yang memiliki rasio atau faktor pengali yang sama. Atau dengan kata lain barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku  sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap.

Contoh :
a.       2, 6, 18, 54, 162 ........
b.       25, -5, 1,- 1/5, ........

Menentukan suku ke-n barisan geometri

Un = a. rn-1
                                                           Keterangan :
Un        = suku Ke-n
a           = Suku pertama
r           = rasio atau faktor pengali 
                                                                           r = U2  U1 atau U3 / U2 atau ( Un + 1 / Un )

contoh :
1.      Tentukan suku ke-10 dari barisan bilangan 162, 108, 72, 36  .....!
Jawab :
       a = 162                                        U20 = 162 . (1/2)10 – 1
       n = 10                                                 = 162 . (1/2)9
       r = 162 / 108 = ½                               = 162 . 1/512 = 9/128

2.      Pada barisan 3, -6, 12, -24, ....., suku ke berapkah yang bernilai 768?
a    = 162                                     Un    = 3 . (-2) n  – 1
       Un = 768                                      768  = 3. (-2)n-1
       r    = -6 / 3 = -2                             256 = (-2)n-1
                                                           (2)8 =(-2)n-1
                                                           8 = n – 1
                                                           n = 9

Deret Bilangan
Jumlah yang di tunjuk oleh suku – suku dalam suatu barisan bilangan.

          Bentuk Umum : Sn = U1 + U2 + U3 + ........ + Un
       
                            Sn = Jumlah n suku pertama    Un = Suku ke-n
Deret Aritmatika
          adalah Jumlah suku – suku yang di tunjukkan oleh barisan Aritmatika


          Keterangan :
          Sn    = Jumlah n suku pertama    Un        = Suku ke-n
          a     = Suku ke-1                        b          = Selisih / beda

Hubungan Deret Aritmatika dengan Barisana Arismatika :
-          Un = Sn – Sn-1
-          Sn = ½ n. Ut

contoh :
1.      Tentukan jumlah 18 suku pertama dari barisan bilangan 3, 7,11, 15, ....!
Jawab :
a = 3                     b = 4                n = 18
S18  = 18/2 (2.3 + (18 – 1). 4)
       = 9. (6 + 17.4)
       = 9. (6 + 68) = 666

2.      20 + 24 + 28 + ..... = 572. Berapa banyak suku pada barisan tersebut?
Jawab :
a = 20                   b = 4                            Sn = 572



Sn = n/2 (2.20 + (n – 1).4)
572 = n/2(40 + 4n – 4 )
572 = n/2(36 + 4n)
572 = 18n + 2n2


2n2 + 18n – 572 = 0
n2 + 9n – 286 = 0
(n +22)(n – 13)=0
n=13

Deret Geometri
          adalah Jumlah suku – suku yang di tunjukkan oleh barisan Geometri

Keterangan
          Sn    = Jumlah n suku pertama                a = Suku ke-1                          r = rasio
Hubungan Deret Geometri dengan Barisana Geometri :
-          Un = Sn / Sn-1

Contoh :
1.      Tentukan jumlah dari 8 suku pertama barisan bilangan 4, -6, 9, .....
Jawab :
a = 4                     r = -3/2                        n = 8

S8 = {4. (1 – (-3/2)8)}/{1-(-3/2)}
     = {4. (1 – 6561/256)} / (2,5)
     = {4.(-25)}/ (2,5) = - 40
2.      3 – 6 + 12 – 24, ..... = - 255, Berapa banyak suku pada deret di atas ?
Jawab :
a = 3                     r = -2               Sn = - 255

Sn = 3. (1 – (-2)n) / (1 – (-2))
- 255 = 3. (1 – (-2)n) / (3)
- 255 = (1 – (-2)n)
(-2)n = 256
n = 8

Deret Geometri Tak HIngga
1.      Deret Geometri konvergen : jika – 1 < r < 1, maka 
2.      Deret Geometri Divergen : jika r - 1 atau r 1, maka

Contoh :

Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga 4 + 8/3 + 16/9 + 32/27 + ......!
Jawab :
S~ = 4/(1 – 2/3)
     = 4 . 3 = 12



Tidak ada komentar:

Poskan Komentar